Addendum to “Amenability and weak amenability of second conjugate Banach algebras”
Notice bibliographique
Résumé
The purpose of this note is to show that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a Banach algebra with the continuous dual space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A^{*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D colon upper A right-arrow upper A Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D : A \rightarrow A^{*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a weakly compact derivation, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D Superscript asterisk asterisk Baseline colon upper A Superscript asterisk asterisk Baseline right-arrow upper A Superscript asterisk asterisk asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D^{**} : A^{**} \rightarrow A^{***}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is also a derivation, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript asterisk asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A^{**}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has the first (or second) Arens product and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript asterisk asterisk asterisk"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A^{***}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is viewed as the dual module of the Banach algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Superscript asterisk asterisk Baseline period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A^{**}.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,002 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».