Enregistrement W3008597081 · doi:10.1090/s0025-5718-04-01666-7

Solutions of the congruence 𝑎^{𝑝-1}≡1 (mod 𝑝^{𝑟})

2004· article· lv· W3008597081 sur OpenAlex

Pourquoi ce travail est dans la base

Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.

affAu moins un auteur déclare une institution canadienne dans l'instantané OpenAlex épinglé.

fundUn bailleur canadien est enregistré sur le travail.

Notice bibliographique

RevueMathematics of Computation · 2004

Typearticle

Languelv

DomaineMathematics

ThématiqueAnalytic Number Theory Research

Établissements canadiensDalhousie University

Organismes subventionnairesKillam Trusts

Mots-clésAlgorithmArtificial intelligenceComputer science

DOI10.1090/s0025-5718-04-01666-7

Résumé

récupéré en direct d'OpenAlex

To supplement existing data, solutions of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Superscript p minus 1 Baseline identical-to 1 left-parenthesis mod p squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace width="0.667em"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a^{p-1} \equiv 1 \pmod {p^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are tabulated for primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a comma p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a, p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="100 greater-than a greater-than 1000"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>100</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1000</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">100 > a > 1000</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="10 Superscript 4 Baseline greater-than p greater-than 10 Superscript 11"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">10^4 > p > 10^{11}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a greater-than 100"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>100</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a > 100</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , five new solutions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p greater-than 2 Superscript 32"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p > 2^{32}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are presented. One of these, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p equals 188748146801"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>188748146801</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p = 188748146801</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a equals 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a = 5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , also satisfies the “reverse” congruence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Superscript a minus 1 Baseline identical-to 1 left-parenthesis mod a squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mspace width="0.667em"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^{a-1} \equiv 1 \pmod {a^2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . An effective procedure for searching for such “double solutions” is described and applied to the range <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a greater-than 10 Superscript 6"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotat

Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.

Prédiction distillée sur la base complète

Imitation des enseignants

Ni prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.

score de la tête « metaresearch » (Codex)0,001

score de la tête « metaresearch » (Gemma)0,001

Version: codex-gemma-dda1882f352aStatut de validation: machine_predicted_unvalidated

Catégories candidatesaucune

Catégories consensuellesaucune

DomaineSignal candidat: aucune · Signal consensuel: aucune

Devis d'étudeSignal candidat: Théorique ou conceptuel · Signal consensuel: Théorique ou conceptuel

GenreSignal candidat: Empirique · Signal consensuel: aucune

Score de désaccord entre enseignants0,509

Score d'incertitude au seuil0,855

Scores Codex et Gemma par catégorie

Catégorie	Codex	Gemma
Métarecherche	0,001	0,001
Méta-épidémiologie (sens strict)	0,000	0,000
Méta-épidémiologie (sens large)	0,001	0,000
Bibliométrie	0,000	0,001
Études des sciences et des technologies	0,000	0,001
Communication savante	0,000	0,000
Science ouverte	0,001	0,000
Intégrité de la recherche	0,000	0,000
Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)	0,000	0,000

Scores machine (provisoires)

Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.

Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.

Tête enseignante Opus0,063

Tête enseignante GPT0,338

Écart entre enseignants0,275 · la distance entre les deux têtes enseignantes sur ce seul travail

Statut de validationscore_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle

En bref

Citations25

Publié2004

Routes d'admission2

Résumé présentoui

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