Flexibility of planar graphs—Sharpening the tools to get lists of size four
Notice bibliographique
Résumé
A graph where each vertex v has a list L(v) of available colors is L-colorable if there is a proper coloring such that the color of v is in L(v) for each v. A graph is k-choosable if every assignment L of at least k colors to each vertex guarantees an L-coloring. Given a list assignment L, an L-request for a vertex v is a color c∈L(v). In this paper, we look at a variant of the widely studied class of precoloring extension problems from Dvořák, Norin, and Postle (J. Graph Theory, 2019), wherein one must satisfy “enough”, as opposed to all, of the requested set of precolors. A graph G is ɛ-flexible for list size k if for any k-list assignment L, and any set S of L-requests, there is an L-coloring of G satisfying ɛ-fraction of the requests in S. It is conjectured that planar graphs are ɛ-flexible for list size 5, yet it is proved only for list size 6 and for certain subclasses of planar graphs. We give a stronger version of the main tool used in the proofs of the aforementioned results. By doing so, we improve upon a result by Masařík and show that planar graphs without K4− are ɛ-flexible for list size 5. We also prove that planar graphs without 4-cycles and 3-cycle distance at least 2 are ɛ-flexible for list size 4. Finally, we introduce a new (slightly weaker) form of ɛ-flexibility where each vertex has exactly one request. In that setting, we provide a stronger tool and we demonstrate its usefulness to further extend the class of graphs that are ɛ-flexible for list size 5.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,004 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».