Existence and Stability of Infinite Time Blow-Up in the Keller–Segel System
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Perhaps the most classical diffusion model for chemotaxis is the Keller–Segel system We consider the critical mass case $$\int _{{\mathbb {R}}^2} u_0(x)\, \textrm{d}x = 8\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , which corresponds to the exact threshold between finite-time blow-up and self-similar diffusion towards zero. We find a radial function $$u_0^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> with mass $$8\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> such that for any initial condition $$u_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> sufficiently close to $$u_0^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> and mass $$8\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the solution u ( x , t ) of ( $$*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> ) is globally defined and blows-up in infinite time. As $$t\rightarrow +\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> it has the approximate profile $$\begin{aligned} u(x,t) \approx \frac{1}{\lambda ^2(t)} U\left( \frac{x-\xi (t)}{\lambda (t)} \right) , \quad U(y)= \frac{8}{(1+|y|^2)^2}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\lambda (t) \approx \frac{c}{\sqrt{\log t}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≈</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> , $$\xi (t)\rightarrow q$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for some <jats
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».