Some bounds arising from a polynomial ideal associated to any $t$-design
Notice bibliographique
Résumé
We consider ordered pairs $(X,\mathcal{B})$ where $X$ is a finite set of size $v$ and $\mathcal{B}$ is some collection of $k$-element subsets of $X$ such that every $t$-element subset of $X$ is contained in exactly $\lambda$ “blocks” $B \in \mathcal{B}$ for some fixed $\lambda$. We represent each block $B$ by a zero-one vector $\mathbf{c}_B$ of length $v$ and explore the ideal $\mathcal{I}(\mathcal{B})$ of polynomials in $v$ variables with complex coefficients which vanish on the set $\{\mathbf{c}_B \mid B \in \mathcal{B}\}$. After setting up the basic theory, we investigate two parameters related to this ideal: $\gamma_1(\mathcal{B})$ is the smallest degree of a non-trivial polynomial in the ideal $\mathcal{I}(\mathcal{B})$ and $\gamma_2(\mathcal{B})$ is the smallest integer $s$ such that $\mathcal{I}(\mathcal{B})$ is generated by a set of polynomials of degree at most $s$. We first prove the general bounds $t/2 < \gamma_1(\mathcal{B}) \leq \gamma_2(\mathcal{B}) \leq k$. Examining important families of examples, we find that, for symmetric $2$-designs and Steiner systems, we have $\gamma_2(\mathcal{B}) \leq t$. But we expect $\gamma_2(\mathcal{B})$ to be closer to $k$ for less structured designs and we indicate this by constructing infinitely many triple systems satisfying $\gamma_2(\mathcal{B}) = k$. Received: 21 January 2019 | Accepted: 4 December 2019
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».