Salem–Zygmund inequality for locally sub-Gaussian random variables, random trigonometric polynomials, and random circulant matrices
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract In this manuscript we give an extension of the classic Salem–Zygmund inequality for locally sub-Gaussian random variables. As an application, the concentration of the roots of a Kac polynomial is studied, which is the main contribution of this manuscript. More precisely, we assume the existence of the moment generating function for the iid random coefficients for the Kac polynomial and prove that there exists an annulus of width $$\begin{aligned} \text {O}( n^{-2}(\log n)^{-1/2-\gamma }), \quad \gamma >1/2\end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mtext>O</mml:mtext><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>log</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace /><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> around the unit circle that does not contain roots with high probability. As an another application, we show that the smallest singular value of a random circulant matrix is at least $$n^{-\rho }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> , $$\rho \in (0,1/4)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>/</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> with probability $$1-\text {O}( n^{-2\rho })$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mtext>O</mml:mtext><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>ρ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> .
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,011 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle