Counting multiplicative groups with prescribed subgroups
Notice bibliographique
Résumé
We examine two counting problems that seem very group-theoretic on the surface but, on closer examination, turn out to concern integers with restrictions on their prime factors. First, given an odd prime [Formula: see text] and a finite abelian [Formula: see text]-group [Formula: see text], we consider the set of integers [Formula: see text] such that the Sylow [Formula: see text]-subgroup of the multiplicative group [Formula: see text] is isomorphic to [Formula: see text]. We show that the counting function of this set of integers is asymptotic to [Formula: see text] for explicit constants [Formula: see text] and [Formula: see text] depending on [Formula: see text] and [Formula: see text]. Second, we consider the set of integers [Formula: see text] such that the multiplicative group [Formula: see text] is “maximally non-cyclic”, that is, such that all of its prime-power subgroups are elementary groups. We show that the counting function of this set of integers is asymptotic to [Formula: see text] for an explicit constant [Formula: see text], where [Formula: see text] is Artin’s constant. As it turns out, both of these group-theoretic problems can be reduced to problems of counting integers with restrictions on their prime factors, allowing them to be addressed by classical techniques of analytic number theory.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».