Computation and Applications of Mathieu Functions: A Historical Perspective
Notice bibliographique
Résumé
Mathieu functions of period $\pi$ or $2\pi$, also called elliptic cylinder functions, were introduced in 1868 by Émile Mathieu together with so-called modified Mathieu functions, in order to help understand the vibrations of an elastic membrane set in a fixed elliptical hoop. These functions still occur frequently in applications today; our interest, for instance, was stimulated by a problem of pulsatile blood flow in a blood vessel compressed into an elliptical cross section. This paper surveys and recapitulates the historical development of the theory and methods of computation for Mathieu functions and modified Mathieu functions and identifies some gaps in current software capability, particularly related to double eigenvalues of the Mathieu equation. We demonstrate how to compute Puiseux expansions of the Mathieu eigenvalues about such double eigenvalues and give methods to compute the generalized eigenfunctions that arise there. In examining Mathieu's original contribution, we bring out that his use of antisecularity predates that of Lindstedt. For historical interest, we also provide short biographies of some of the major mathematical researchers involved in the history of the Mathieu functions: Émile Mathieu, Sir Edmund Whittaker, Edward Ince, and Gertrude Blanch.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,011 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,007 | 0,005 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,010 |
| Communication savante | 0,005 | 0,010 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,007 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».