Bounding extrema over global attractors using polynomial optimisation
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We present a framework for bounding extreme values of quantities on global attractors of differential dynamical systems. A global attractor is the minimal set that attracts all bounded sets; it contains all forward-time limit points. Our approach uses (generalised) Lyapunov functions to find attracting sets, which must contain the global attractor, and the choice of Lyapunov function is optimised based on the quantity whose extreme value one aims to bound. We also present a non-global framework for bounding extrema over the minimal set that is attracting in a specified region of state space. If the dynamics are governed by ordinary differential equations, and the equations and quantities of interest are polynomial, then our methods can be implemented computationally using polynomial optimisation. In particular, we enforce nonnegativity of certain polynomial expressions by requiring them to be representable as sums of squares, leading to a convex optimisation problem that can be recast as a semidefinite program and solved computationally. This computer assistance lets one construct complicated polynomial Lyapunov functions. Computations are illustrated using three examples. The first is the chaotic Lorenz system, where we bound extreme values of various monomials of the coordinates over the global attractor. In the second example we bound extreme values over a chaotic saddle in a nine-mode truncation of fluid dynamics that displays long-lived chaotic transients. The third example has two locally stable limit cycles, each with its own basin of attraction, and we apply our non-global framework to construct bounds for one basin that do not apply to the other. For each example we compute Lyapunov functions of polynomial degrees up to at least eight. In cases where we can judge the sharpness of our bounds, they are sharp to at least three digits when the polynomial degree is at least four or six.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,006 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».