The smallest prime in a conjugacy class and the first sign change for automorphic 𝐿-functions
Notice bibliographique
Résumé
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Subscript n"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S_n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -field. For a nonidentity conjugacy class <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C"> <mml:semantics> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , define <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript upper K comma upper C"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_{K,C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to be the smallest prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that Frob <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Subscript p Baseline element-of upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi/> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">_p\in C</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . By using the observation that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript upper K comma upper C"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_{K,C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is interpreted as the first prime sign change of the Dirichlet coefficients of automorphic <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L"> <mml:semantics> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -functions, we improve the known bound on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript upper K comma upper C"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_{K,C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 3 comma 4 comma 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=3,4,5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . (For <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=5</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we need to assume the strong Artin conjecture.)
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,004 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,003 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».