On computational complexity of Siegel Julia sets
Notice bibliographique
Résumé
Abstract. It is known that some polynomial Julia sets are algorithmically impossible to draw with arbitrary magnification. On the other hand, for a large class of examples the problem of drawing a picture has polynomial complexity. In this paper we demonstrate the existence of computable quadratic Julia sets whose computational complexity is arbitrarily high. 1. Foreword Let us informally say that a compact set in the plane is computable if one can program a computer to draw a picture of this set on the screen, with an arbitrary desired magnification. It was recently shown by the second and third authors, that some Julia sets are not computable [BY]. This in itself is quite surprising to dynamicists – Julia sets are among the “most drawn ” objects in contemporary mathematics, and numerous algorithms exist to produce their pictures. In the cases when one has not been able to produce informative pictures (the dynamically pathological cases, like maps with a Cremer or a highly Liouville Siegel point) the feeling had been that this was due to the immense computational resources required by the known algorithms. The next surprise came with the discovery by the authors of this paper in [BBY] that all Cremer quadratics (or more generally, rational maps without rotation domains) have computable Julia sets. The non-computable examples constructed in [BY] were Siegel quadratic polynomials, and one would expect the Cremer case to be at least as bad if not worse computationally. The natural question to ask is then whether in those cases in which we know the Julia set is computable, but no good pictures exist, the computational complexity of such a set is indeed high. Here at least, our original intuition seems to be correct: it is shown in the present paper that there exist computable Siegel quadratic Julia sets with arbitrarily high computational complexity. An irritating possibility still remains that some Cremer Julia sets are computationally easy (and we just do not go about trying to draw them in the right way). This, however, seems unlikely. We note that the examples constructed in this paper are the first known cases of Julia sets which are not poly-time computable. The second author [Brv] and independently Rettinger [Ret] have previously shown that hyperbolic
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,024 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,008 |
| Communication savante | 0,009 | 0,014 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,006 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,007 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,016 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».