A sharp threshold for minimum bounded-depth and bounded-diameter spanning trees and Steiner trees in random networks
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
In the complete graph on n vertices, when each edge has a weight which is an exponential random variable, Frieze proved that the minimum spanning tree has weight tending to ζ(3) = 1/13 + 1/23 + 1/33 +… as n → ∞. We consider spanning trees constrained to have depth bounded by k from a specified root. We prove that if k ≥ log2 logn+ω(1), where ω(1) is any function going to ∞ with n, then the minimum bounded-depth spanning tree still has weight tending to ζ(3) as n → ∞, and that if k < log2 logn, then the weight is doubly-exponentially large in log2 logn − k. It is NP-hard to find the minimum bounded-depth spanning tree, but when k≤log2 logn−ω(1), a simple greedy algorithm is asymptotically optimal, and when k ≥ log2 logn+ω(1), an algorithm which makes small changes to the minimum (unbounded depth) spanning tree is asymptotically optimal. We prove similar results for minimum bounded-depth Steiner trees, where the tree must connect a specified set of m vertices, and may or may not include other vertices. In particular, when m=const×n, if k≥log2 logn+ω(1), the minimum bounded-depth Steiner tree on the complete graph has asymptotically the same weight as the minimum Steiner tree, and if 1 ≤ k ≤ log2 logn−ω(1), the weight tends to $$(1 - 2^{ - k} )\sqrt {8m/n} \left[ {\sqrt {2mn} /2^k } \right]^{1/(2^k - 1)}$$ in both expectation and probability. The same results hold for minimum bounded-diameter Steiner trees when the diameter bound is 2k; when the diameter bound is increased from 2k to 2k+1, the minimum Steiner tree weight is reduced by a factor of $$2^{1/(2^k - 1)}$$ .
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle