Geometry of random Cayley graphs of Abelian groups
Notice bibliographique
Résumé
Consider the random Cayley graph of a finite Abelian group G with respect to k generators chosen uniformly at random, with 1≪logk≪log|G|. Draw a vertex U∼Unif(G). We show that the graph distance dist(id,U) from the identity to U concentrates at a particular value M, which is the minimal radius of a ball in Zk of cardinality at least |G|, under mild conditions. In other words, the distance from the identity for all but o(|G|) of the elements of G lies in the interval [M−o(M),M+o(M)]. In the regime k≳log|G|, we show that the diameter of the graph is also asymptotically M. In the spirit of a conjecture of Aldous and Diaconis (Technical Report 231 (1985)), this M depends only on k and |G|, not on the algebraic structure of G. Write d(G) for the minimal size of a generating subset of G. We prove that the order of the spectral gap is |G|−2/k when k−d(G)≍k and |G| lies in a density-1 subset of N or when k−2d(G)≍k. This extends, for Abelian groups, a celebrated result of Alon and Roichman (Random Structures Algorithms 5 (1994) 271–284). The aforementioned results all hold with high probability over the random Cayley graph.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,008 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».