Refinements of the Gauss-Lucas theorem using rational lemniscates and polar convexity
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
The classical Gauss-Lucas theorem for complex polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis z right-parenthesis colon-equal left-parenthesis z minus z 1 right-parenthesis midline-horizontal-ellipsis left-parenthesis z minus z Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>≔</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(z) ≔(z-z_1) \cdots (z-z_n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> states that the critical points of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are in the convex hull of its zeros. We give two refinements of the Gauss-Lucas theorem, both connected by the notion of polar convexity. In the first, we describe lemniscatic regions that do not contain non-trivial critical points of any polynomial of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis z minus z 1 right-parenthesis midline-horizontal-ellipsis left-parenthesis z minus z Subscript m Baseline right-parenthesis left-parenthesis z minus z Subscript m plus 1 Superscript asterisk Baseline right-parenthesis midline-horizontal-ellipsis left-parenthesis z minus z Subscript n Superscript asterisk Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(z-z_1) \cdots (z-z_m)(z-z^*_{m+1})\cdots (z-z^*_{n})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , when the parameters <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z Subscript m plus 1 Superscript asterisk Baseline comma ellipsis comma z Subscript n Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z^*_{m+1},\ldots ,z^*_{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> vary freely in a specified set, containing the zeros <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z Subscript m plus 1 Baseline comma ellipsis comma z Subscript n Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,002 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle