Price of Connectivity for the vertex cover problem and the dominating set problem: Conjectures and investigation of critical graphs
Notice bibliographique
Résumé
The vertex cover problem and the dominating set problem are two well-known problems in graph theory. Their goal is to find the minimum size of a vertex subset satisfying some properties. Both hold a connected version, which imposes that the vertex subset must induce a connected component. To study the interdependence between the connected version and the original version of a problem, the Price of Connectivity ( $$PoC$$ ) was introduced by Cardinal and Levy (Theor Comput Sci 411(26–28):2581–2590, 2010) and Levy (Approximation algorithms for covering problems in dense graphs. Ph.D. thesis, Universite libre de Bruxelles, Brussels, 2009) as the ratio between invariants from the connected version and the original version of the problem. Camby et al. (Discret Math Theor Comput Sci 16:207–224, 2014) for the vertex cover problem, Camby and Schaudt (Discret Appl Math 177:53–59, 2014) for the dominating set problem characterized some classes of $$PoC$$ -Near-Perfect graphs, hereditary classes of graphs in which the Price of Connectivity is bounded by a fixed constant. Moreover, only for the vertex cover problem, Camby et al. (2014) introduced the notion of critical graphs, graphs that can appear in the list of forbidden induced subgraphs characterization. By definition, the Price of Connectivity of a critical graph is strictly greater than that of any proper induced subgraph. In this paper, we prove that for the vertex cover problem, every critical graph is either isomorphic to a cycle on 5 vertices or bipartite. To go further in the previous studies, we also present conjectures on $$PoC$$ -Near-Perfect graphs and critical graphs with the help of the computer software GraphsInGraphs (Camby and Caporossi in Studying graphs and their induced subgraphs with the computer: GraphsInGraphs. Cahiers du GERAD G-2016-10, 2016). Moreover, for the dominating set problem, we investigate critical trees and we show that every minimum dominating set of a critical graph is independent.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,004 | 0,054 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,007 |
| Communication savante | 0,007 | 0,021 |
| Science ouverte | 0,004 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,005 | 0,007 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,010 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».