The number of $D_4$-fields ordered by conductor
Notice bibliographique
Résumé
We consider families of quartic number fields whose normal closures over \mathbb{Q} have Galois group isomorphic to D_4 , the symmetries of a square. To any such field L , one can associate the Artin conductor of the corresponding 2-dimensional irreducible Galois representation with image D_4 . We determine the asymptotic number of such D_4 -quartic fields ordered by conductor, and compute the leading term explicitly as a mass formula, verifying heuristics of Kedlaya and Wood. Additionally, we are able to impose any local splitting conditions at any finite number of primes (sometimes, at an infinite number of primes), and as a consequence, we also compute the asymptotic number of order-4 elements in class groups and narrow class groups of quadratic fields ordered by discriminant. Traditionally, there have been two approaches to counting quartic fields, using arithmetic invariant theory in combination with geometry-of-number techniques, and applying Kummer theory together with L -function methods. Both of these strategies fail in the case of D_4 -quartic fields ordered by conductor since counting quartic fields containing a quadratic subfield with large discriminant is difficult. However, when ordering by conductor, we utilize additional algebraic structure arising from the outer automorphism of D_4 combined with both approaches mentioned above to obtain exact asymptotics.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».