Divisor-bounded multiplicative functions in short intervals
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We extend the Matomäki–Radziwiłł theorem to a large collection of unbounded multiplicative functions that are uniformly bounded, but not necessarily bounded by 1, on the primes. Our result allows us to estimate averages of such a function f in typical intervals of length $$h(\log X)^c$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , with $$h = h(X) \rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and where $$c = c_f \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is determined by the distribution of $$\{|f(p) |\}_p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> in an explicit way. We give three applications. First, we show that the classical Rankin–Selberg-type asymptotic formula for partial sums of $$|\lambda _f(n) |^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\{\lambda _f(n)\}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the sequence of normalized Fourier coefficients of a primitive non-CM holomorphic cusp form, persists in typical short intervals of length $$h\log X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , if $$h = h(X) \rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We also generalize this result to sequences $$\{|\lambda _{\pi }(n) |^2\}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\lambda _{\pi }(n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the n th coefficient of the standard L -function of an automorphic representation $$\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> with unitary central character for $$GL_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , $$m \ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , provided $$\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> satisfies the generalized Ramanujan conjecture. Second, using recent developments in the theory of automorphic forms we estimate the variance of averages of all positive real moments $$\{|\lambda _f(n) |^{\alpha }\}_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,040 | 0,009 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,007 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,002 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; les deux têtes enseignantes s’accordent sur ce qui est montré ici.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».