A quadratic lower bound for homogeneous algebraic branching programs.
Notice bibliographique
Résumé
An algebraic branching program (ABP) is a directed acyclic graph, with a start vertex s, and end vertex t and each edge having a weight which is an affine form in $$\mathbb{F}[x_1, x_2, \ldots , x_n]$$ . An ABP computes a polynomial in a natural way, as the sum of weights of all paths from s to t, where the weight of a path is the product of the weights of the edges in the path. An ABP is said to be homogeneous if the polynomial computed at every vertex is homogeneous. In this paper, we show that any homogeneous algebraic branching program which computes the polynomial $$x^n_1 + x^n_2 + \cdots + x^n_n$$ has at least $$\Omega(n^2)$$ vertices (and hence edges). To the best of our knowledge, this seems to be the first non-trivial super-linear lower bound on the number of vertices for a general homogeneous ABP and slightly improves the known lower bound of $$\Omega(n \,{\rm log}\, n)$$ on the number of edges in a general (possibly non-homogeneous) ABP, which follows from the classical results of Strassen (Numer Math 20:238–251, 1973) and Baur and Strassen (Theor Comput Sci 22:317–330, 1983). On the way, we also get an alternate and unified proof of an $$\Omega(n \,{\rm log}\, n)$$ lower bound on the size of a homogeneous arithmetic circuit (follows from the work of Strassen (1973) and Baur & Strassen (1983)), and an n/2 lower bound $$(n \,{\rm over}\, \mathbb{R})$$ on the determinantal complexity of an explicit polynomial (Mignon and Ressayre in Int Math Res Notes 2004(79):4241–4253, 2004; Cai et al. in Comput Complex 19(1):37–56, 2010, http://dx.doi.org/10.1007/s00037-009-0284-2 ; Yabe in CoRR, 2015, http://arxiv.org/abs/1504.00151 ). These are currently the best lower bounds known for these problems for any explicit polynomial and were originally proved nearly two decades apart using seemingly different proof techniques.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,004 | 0,025 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,004 |
| Communication savante | 0,005 | 0,016 |
| Science ouverte | 0,005 | 0,007 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,010 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,038 | 0,007 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».