Polygons as maximizers of Dirichlet energy or first eigenvalue of Dirichlet-Laplacian among convex planar domains
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We prove that solutions to several shape optimization problems in the plane, with a convexity constraint on the admissible domains, are polygons. The main terms of the shape functionals we consider are either the Dirichlet energy <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>E</m:mi> <m:mi>f</m:mi> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {E_{f}(\Omega)} of the Laplacian in the domain Ω or the first eigenvalue <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>λ</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\lambda_{1}(\Omega)} of the Dirichlet-Laplacian. Usually, one considers minimization of such functionals (often with measure constraint), as for example for the famous Saint-Venant and Faber-Krahn inequalities. By adding the convexity constraint (and possibly other natural constraints), we instead consider the rather unusual and difficult question of maximizing these functionals. This paper follows a series of papers by the authors, where the leading idea is that a certain concavity property of the shape functional that is minimized leads optimal shapes to locally saturate their convexity constraint, which geometrically means that they are polygonal. In these previous papers, the leading term in the shape functional was usually the opposite of the perimeter, for which the aforementioned concavity property was rather easy to obtain through computations of its second order shape derivative. By carrying classical shape calculus, a similar concavity property can be observed for the opposite of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>E</m:mi> <m:mi>f</m:mi> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {E_{f}(\Omega)} or <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>λ</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\lambda_{1}(\Omega)} when shapes are smooth and convex. The main novelty in the present paper is the proof of a weak convexity property of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>E</m:mi> <m:mi>f</m:mi> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {E_{f}(\Omega)} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>λ</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {\lambda_{1}(\Omega)} among planar convex shapes, namely rather nonsmooth shapes. This involves new computations and estimates of the second order shape derivatives of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>E</m:mi> <m:mi>f</m:mi> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> {E_{f}(\Omega)} and <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>λ</m:mi> <m:mn>1</m:mn> </m:msub> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:math> <jats:inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xlink:href="graphic/j_ac
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle