Simultaneous rational approximation to successive powers of a real number
Notice bibliographique
Résumé
We develop new tools leading, for each integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n greater-than-or-equal-to 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n\ge 4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , to a significantly improved upper bound for the uniform exponent of rational approximation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove lamda With caret Subscript n Baseline left-parenthesis xi right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mo> ^ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\widehat {\lambda }_n(\xi )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to successive powers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 comma xi comma ellipsis comma xi Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1,\xi ,\dots ,\xi ^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a given real transcendental number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi"> <mml:semantics> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\xi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . As an application, we obtain a refined lower bound for the exponent of approximation to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="xi"> <mml:semantics> <mml:mi> ξ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\xi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by algebraic integers of degree at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n+1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . The new lower bound is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n slash 2 plus a StartRoot n EndRoot plus 4 slash 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msqrt> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n/2+a\sqrt {n}+4/3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a equals left-parenthesis 1 minus log left-parenthesis 2 right-parenthesis right-parenthesis slash 2 asymptotically-equals 0.153"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo> ≃ </mml:mo> <mml:mn>0.153</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a=(1-\log (2))/2\simeq 0.153</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , instead of the current <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n slash 2 plus script upper O left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n/2+\mathcal {O}(1)</mml:annotation>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».