The Erdős-Ko-Rado Theorem for 2-Pointwise and 2-Setwise Intersecting Permutations
Notice bibliographique
Résumé
In this paper we consider the conjectured Erdős-Ko-Rado property for $2$-pointwise and $2$-setwise intersecting permutations. Two permutations $\sigma,\tau \in \operatorname{Sym}(n)$ are $t$-setwise intersecting if there exists a $t$-subset $S$ of $\{1,2,\dots,n\}$ such that $S^\sigma = S^\tau$. Further, two permutations $\sigma,\tau \in \operatorname{Sym}(n)$ are $t$-pointwise intersecting if there exists a $t$-subset $S$ of $\{1,2,\dots,n\}$ such that $s^\sigma = s^\tau$ for each $s \in S$. A family of permutations $\mathcal{F} \subset \operatorname{Sym}(n)$ is called $t$-setwise (resp. $t$-pointwise) intersecting, if any two permutations in $\mathcal{F}$ are $t$-setwise (resp. $t$-pointwise) intersecting. We say that $\operatorname{Sym}(n)$ has the $t$-setwise intersecting property if for any family $\mathcal{F}$ of $t$-setwise intersecting permutations, $|\mathcal{F}| \leqslant t!(n-t)!$. Similarly, $\operatorname{Sym}(n)$ has the $t$-pointwise intersecting property if for any family $\mathcal{F}$ of $t$-pointwise intersecting permutations, $|\mathcal{F}| \leqslant (n-t)!$.Ellis ([``"Setwise intersecting families of permutations". J. Combin. Theory Ser. A, 119(4):825-849, 2012]), proved that if $n$ is sufficiently large relative to $t$, then $\operatorname{Sym}(n)$ has the $t$-setwise intersecting property. Ellis also conjectured that this result holds for all $n \geqslant t$. Ellis, Friedgut and Pilpel ["``Intersecting families of permutations." J. Amer. Math. Soc. 24(3):649-682, 2011] also proved that for $n$ sufficiently large relative to $t$, $\operatorname{Sym}(n)$ has the $t$-pointwise intersecting property. It is also conjectured that $\operatorname{Sym}(n)$ has the $t$-pointwise intersecting property for $n\geqslant 2t+1$. In this work, we prove these two conjectures for $\operatorname{Sym}(n)$ when $t=2$.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».