Some generating functions and inequalities for the andrews–stanley partition functions
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Let $\mathcal {O}(\pi )$ denote the number of odd parts in an integer partition $\pi$ . In 2005, Stanley introduced a new statistic $\operatorname {srank}(\pi )=\mathcal {O}(\pi )-\mathcal {O}(\pi ')$ , where $\pi '$ is the conjugate of $\pi$ . Let $p(r,\,m;n)$ denote the number of partitions of $n$ with srank congruent to $r$ modulo $m$ . Generating function identities, congruences and inequalities for $p(0,\,4;n)$ and $p(2,\,4;n)$ were then established by a number of mathematicians, including Stanley, Andrews, Swisher, Berkovich and Garvan. Motivated by these works, we deduce some generating functions and inequalities for $p(r,\,m;n)$ with $m=16$ and $24$ . These results are refinements of some inequalities due to Swisher.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,006 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».