A CONTINUOUS HOMOMORPHISM OF A THIN SET ONTO A FAT SET
Notice bibliographique
Résumé
Abstract A thin set is defined to be an uncountable dense zero-dimensional subset of measure zero and Hausdorff measure zero of an Euclidean space. A fat set is defined to be an uncountable dense path-connected subset of an Euclidean space which has full measure, that is, its complement has measure zero. While there are well-known pathological maps of a set of measure zero, such as the Cantor set, onto an interval, we show that the standard addition on $\mathbb {R}$ maps a thin set onto a fat set; in fact the fat set is all of $\mathbb {R}$ . Our argument depends on the theorem of Paul Erdős that every real number is a sum of two Liouville numbers. Our thin set is the set $\mathcal {L}^{2}$ , where $\mathcal {L}$ is the set of all Liouville numbers, and the fat set is $\mathbb {R}$ itself. Finally, it is shown that $\mathcal {L}$ and $\mathcal {L}^{2}$ are both homeomorphic to $\mathbb {P}$ , the space of all irrational numbers.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».