Variants of the Gyárfás–Sumner conjecture: Oriented trees and rainbow paths
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Given a finite family of graphs, we say that a graph is “‐free” if does not contain any graph in as a subgraph. We abbreviate ‐free to just “‐free” when . A vertex‐colored graph is called “rainbow” if no two vertices of have the same color. Given an integer and a finite family of graphs , let denote the smallest integer such that any properly vertex‐colored ‐free graph having contains an induced rainbow path on vertices. Scott and Seymour showed that exists for every complete graph . A conjecture of N. R. Aravind states that . The upper bound on that can be obtained using the methods of Scott and Seymour setting are, however, super‐exponential. Gyárfás and Sárközy showed that . For , we show that and therefore, . This significantly improves Gyárfás and Sárközy's bound and also covers a bigger class of graphs. We adapt our proof to achieve much stronger upper bounds for graphs of higher girth: we prove that , where . Moreover, in each case, our results imply the existence of at least distinct induced rainbow paths on vertices. Along the way, we obtain some new results on an oriented variant of the Gyárfás–Sumner conjecture. For , let denote the orientations of in which one vertex has out‐degree or in‐degree . We show that every ‐free oriented graph having a chromatic number at least and every bikernel‐perfect oriented graph with girth having a chromatic number at least contains every oriented tree on at most vertices as an induced subgraph.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».