Random 2-cell embeddings of multistars
Notice bibliographique
Résumé
Random 2-cell embeddings of a given graph<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"><mml:semantics><mml:mi>G</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>are obtained by choosing a random local rotation around every vertex. We analyze the expected number of faces,<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper E left-bracket upper F Subscript upper G Baseline right-bracket"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>G</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {E}[F_G]</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>, of such an embedding which is equivalent to studying its average genus. So far, tight results are known for two families called monopoles and dipoles. We extend the dipole result to a more general family called multistars, i.e., loopless multigraphs in which there is a vertex incident with all the edges. In particular, we show that the expected number of faces of every multistar with<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"><mml:semantics><mml:mi>n</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>nonleaf edges lies in an interval of length<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 slash left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>/</mml:mo></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">2/(n+1)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>centered at the expected number of faces of an<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"><mml:semantics><mml:mi>n</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>-edge dipole. This allows us to derive bounds on<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper E left-bracket upper F Subscript upper G Baseline right-bracket"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>G</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {E}[F_G]</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>for any given graph<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"><mml:semantics><mml:mi>G</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>in terms of vertex degrees. We conjecture that<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper E left-bracket upper F Subscript upper G Baseline right-bracket less-than-or-equal-to upper O left-parenthesis n right-parenthesis"><mml:semantics><mml:mrow><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mi mathvariant="double-struck">E</mml:mi></mml:mrow><mml:mo stretchy="false">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>G</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false">]</mml:mo><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>O</mml:mi><mml:mo stretchy="false">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="false">)</mml:mo></mml:mrow><mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {E}[F_G]\le O(n)</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>for any simple<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"><mml:semantics><mml:mi>n</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>-vertex graph<inline-formula content-type="math/mathml"><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"><mml:semantics><mml:mi>G</mml:mi><mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation></mml:semantics></mml:math></inline-formula>.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».