Convergence rate to equilibrium for conservative scattering models on the torus: a new tauberian approach
Notice bibliographique
Résumé
The object of this paper is to provide a new and systematic tauberian approach to quantitative long time behaviour of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C 0"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C_{0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -semigroups <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis script upper V left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis Subscript t greater-than-or-slanted-equals 0"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ⩾ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left (\mathcal {V}(t)\right )_{t \geqslant 0}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper T Superscript d Baseline times double-struck upper R Superscript d Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L^{1}(\mathbb {T}^{d}\times \mathbb {R}^{d})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> governing conservative linear kinetic equations on the torus with general scattering kernel <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold-italic k left-parenthesis v comma v prime right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic">k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol {k}(v,v’)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and degenerate (i.e. not bounded away from zero) collision frequency <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma left-parenthesis v right-parenthesis equals integral Underscript double-struck upper R Superscript d Baseline Endscripts bold-italic k left-parenthesis v prime comma v right-parenthesis bold-italic m left-parenthesis normal d v prime right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> σ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="bold-italic">k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold-italic">m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sigma (v)=\int _{\mathbb {R}^{d}}\boldsymbol {k}(v’,v)\boldsymbol {m}(\mathrm {d}v’)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , (with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="bold-italic m left-parenthesis normal d v right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic">m</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\boldsymbol {m}(\mathrm {d}v)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> being absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure). We show in particular that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».