Additive functions in short intervals, gaps and a conjecture of Erdős
Notice bibliographique
Résumé
Abstract With the aim of treating the local behaviour of additive functions, we develop analogues of the Matomäki–Radziwiłł theorem that allow us to approximate the average of a general additive function over a typical short interval in terms of a corresponding long average. As part of this treatment, we use a variant of the Matomäki–Radziwiłł theorem for divisor-bounded multiplicative functions recently proven in Mangerel (Divisor-bounded multiplicative functions in short intervals. arXiv: 2108.11401 ). We consider two sets of applications of these methods. Our first application shows that for an additive function $${\varvec{g:}} \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> any non-trivial savings in the size of the average gap $$|{\varvec{g}}{} {\textbf {(}}{\varvec{n}}{} {\textbf {)}}-{\varvec{g}}{} {\textbf {(}}{\varvec{n}}-{\textbf {1}}{} {\textbf {)}} |$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow /> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> implies that $${\varvec{g}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> must have a small first centred moment i.e. the discrepancy of $${\varvec{g}}{} {\textbf {(}}{\varvec{n}}{} {\textbf {)}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> from its mean is small on average. We also obtain a variant of such a result for the second moment of the gaps. This complements results of Elliott and of Hildebrand. As a second application, we make partial progress on an old question of Erdős relating to characterizing constant multiples of $${{\textbf {log}}} \,{\varvec{n}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mspace /> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> as the only almost everywhere increasing additive functions. We show that if an additive function is almost everywhere non-decreasing then it is almost everywhere well approximated by a constant times a logarithm. We also show that if the set $$\{{\varvec{n}} \in \mathbb {N} : {\varvec{g}}{} {\textbf {(}}{\varvec{n}}{} {\textbf {)}} < {\varvec{g}}{} {\textbf {(}}{\varvec{n}}-{\textbf {1}}{} {\textbf {)}}\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow /> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow /> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is sufficiently sparse, and if $${\varvec{g}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is not extremely large too often on the primes (in a precise sense), then $${\varvec{g}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is identically equal to a constant times a logarithm.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».