From the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture to Nagao’s conjecture
Notice bibliographique
Résumé
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be an elliptic curve over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper Q"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">Q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {Q}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with discriminant <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Delta Subscript upper E"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Delta _E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . For primes <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of good reduction, let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript p"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the number of points modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and write <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript p Baseline equals p plus 1 minus a Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_p=p+1-a_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In 1965, Birch and Swinnerton-Dyer formulated a conjecture which implies <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript x right-arrow normal infinity Endscripts StartFraction 1 Over log x EndFraction sigma-summation Underscript StartLayout 1st Row p less-than-or-equal-to x 2nd Row p does-not-divide normal upper Delta Subscript upper E Baseline EndLayout Endscripts StartFraction a Subscript p Baseline log p Over p EndFraction equals negative r plus one half comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> → </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing="0.1em" columnspacing="0em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ∤ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} \lim _{x\to \infty }\frac {1}{\log x}\sum _{\substack {p\leq x\\ p\nmid \Delta _{E
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».