On the eigenstructure of rotations and poses: commonalities and peculiarities
Notice bibliographique
Résumé
Locating vehicles, targets and objects in three-dimensional space is key to many fields of science and engineering such as robotics, aerospace, computer vision and graphics. Rotations and poses (position plus orientation) of bodies can be expressed in a variety of ways. Rotation matrices constitute one of the classic matrix Lie groups, the special orthogonal group— <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SO</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . Poses can likewise be represented by matrices. One such representation is embodied in a 4 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> </mml:math> 4 matrix establishing another famous matrix Lie group, the special Euclidean group— <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . An alternative representation of pose uses 6 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> </mml:math> 6 matrices and is referred to as the group of pose adjoints— <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>Ad</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The eigenstructures of these representations reveal much about them from Euler’s theorem for rotations to the Mozzi–Chasles theorem for the general displacement of a rigid body. While the eigenstructure of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SO</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> has been extensively studied, those of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>Ad</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> have hardly received the same scrutiny yet their structure is much richer. Motivated by their importance in kinematics and dynamics, we provide here a complete characterization of rotations and poses in terms of the eigenstructure of their matrix Lie group representations. An eigendecomposition of pose matrices reveals that they can be cast into a form similar to that of rotations although the structure of the former can vary depending on the nature of the pose involved. In particular, the pose matrices of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>Ad</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> cannot generally be diagonalized as can rotation matrices but they of course do yield to a Jordan normal form, from which we can identify a principal-axis pose in much the same manner that we can a principal-axis rotation. We also address the minimal polynomials for poses and derive a novel expression for the Jacobian in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>Ad</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . Finally, we argue that the true counterpart to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SO</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> for poses is not <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> but <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mml:mtext>Ad</mml:mtext> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic">SE</mml:m
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».