Linear Asymptotic Convergence of Anderson Acceleration: Fixed-Point Analysis
Notice bibliographique
Résumé
Abstract. We study the asymptotic convergence of AA([Formula: see text]), i.e., Anderson acceleration (AA) with window size [Formula: see text] for accelerating fixed-point methods [Formula: see text], [Formula: see text]. Convergence acceleration by AA([Formula: see text]) has been widely observed but is not well understood. We consider the case where the fixed-point iteration function [Formula: see text] is differentiable and the convergence of the fixed-point method itself is root-linear. We identify numerically several conspicuous properties of AA([Formula: see text]) convergence: First, AA([Formula: see text]) sequences [Formula: see text] converge root-linearly, but the root-linear convergence factor depends strongly on the initial condition. Second, the AA([Formula: see text]) acceleration coefficients [Formula: see text] do not converge but oscillate as [Formula: see text] converges to [Formula: see text]. To shed light on these observations, we write the AA([Formula: see text]) iteration as an augmented fixed-point iteration [Formula: see text], [Formula: see text], and analyze the continuity and differentiability properties of [Formula: see text] and [Formula: see text]. We find that the vector of acceleration coefficients [Formula: see text] is not continuous at the fixed point [Formula: see text]. However, we show that, despite the discontinuity of [Formula: see text], the iteration function [Formula: see text] is Lipschitz continuous and directionally differentiable at [Formula: see text] for AA(1), and we generalize this to AA([Formula: see text]) with [Formula: see text] for most cases. Furthermore, we find that [Formula: see text] is not differentiable at [Formula: see text]. We then discuss how these theoretical findings relate to the observed convergence behavior of AA([Formula: see text]). The discontinuity of [Formula: see text] at [Formula: see text] allows [Formula: see text] to oscillate as [Formula: see text] converges to [Formula: see text], and the nondifferentiability of [Formula: see text] allows AA([Formula: see text]) sequences to converge with root-linear convergence factors that strongly depend on the initial condition. Additional numerical results illustrate our findings for several linear and nonlinear fixed-point iterations [Formula: see text] and for various values of the window size [Formula: see text].
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,011 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,004 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».