Congruences like Atkin’s for the partition function
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the ordinary partition function. In the 1960s Atkin found a number of examples of congruences of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis upper Q cubed script l n plus beta right-parenthesis identical-to 0 left-parenthesis mod script l right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="0.667em"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p( Q^3 \ell n+\beta )\equiv 0\pmod \ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l"> <mml:semantics> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Q"> <mml:semantics> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Q</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are prime and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="5 less-than-or-equal-to script l less-than-or-equal-to 31"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>31</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">5\leq \ell \leq 31</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ; these lie in two natural families distinguished by the square class of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 minus 24 beta left-parenthesis mod script l right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>24</mml:mn> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mspace width="0.667em"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1-24\beta \pmod \ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In recent decades much work has been done to understand congruences of the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis upper Q Superscript m Baseline script l n plus beta right-parenthesis identical-to 0 left-parenthesis mod script l right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="0.667em"/> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mspace width="0.333em"/> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(Q^m\ell n+\beta )\equiv 0\pmod \ell</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . It is now known that there are many such congruences when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than-or-equal-to 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m\geq 4</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , that such congruences are scarce (if they exist at all) when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m equals 1 comma 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,003 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle