Approximation Schemes for Capacitated Vehicle Routing on Graphs of Bounded Treewidth, Bounded Doubling, or Highway Dimension
Notice bibliographique
Résumé
In this article, we present Approximation Schemes for Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) on several classes of graphs. In CVRP, introduced by Dantzig and Ramser in 1959 [ 14 ], we are given a graph G=(V,E) with metric edges costs, a depot r ∈ V , and a vehicle of bounded capacity Q . The goal is to find a minimum cost collection of tours for the vehicle that returns to the depot, each visiting at most Q nodes, such that they cover all the nodes. This generalizes classic TSP and has been studied extensively. In the more general setting, each node v has a demand d v and the total demand of each tour must be no more than Q . Either the demand of each node must be served by one tour (unsplittable) or can be served by multiple tours (splittable). The best-known approximation algorithm for general graphs has ratio α +2(1-ε) (for the unsplittable) and α +1-ε (for the splittable) for some fixed \(ε \gt \frac{1}{3000}\) , where α is the best approximation for TSP. Even for the case of trees, the best approximation ratio is 4/3 [ 5 ] and it has been an open question if there is an approximation scheme for this simple class of graphs. Das and Mathieu [ 15 ] presented an approximation scheme with time n log O(1/ε) n for Euclidean plane ℝ 2 . No other approximation scheme is known for any other class of metrics (without further restrictions on Q ). In this article, we make significant progress on this classic problem by presenting Quasi-Polynomial Time Approximation Schemes (QPTAS) for graphs of bounded treewidth, graphs of bounded highway dimensions, and graphs of bounded doubling dimensions. For comparison, our result implies an approximation scheme for the Euclidean plane with run time n O(log 6 n/ε 5 ) .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,013 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,003 | 0,008 |
| Science ouverte | 0,006 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».