On the Koebe quarter theorem for trinomials with fold symmetry
Notice bibliographique
Résumé
The Koebe problem for univalent polynomials with real coefficients is fully solved only for trinomials, which means that in this case the Koebe radius and the extremal polynomial (extremizer) have been found. The general case remains open, but conjectures have been formulated. The corresponding conjectures have also been hypothesized for univalent polynomials with real coefficients and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T"> <mml:semantics> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -fold rotational symmetry. This paper provides confirmation of these hypotheses for trinomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="z plus a z Superscript upper T plus 1 plus b z Superscript 2 upper T plus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">z + az^{T + 1} + bz^{2T + 1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Namely, the Koebe radius is <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="r equals 4 cosine squared left-parenthesis StartFraction pi left-parenthesis 1 plus upper T right-parenthesis Over 2 plus 3 upper T EndFraction right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">r=4\cos ^2\left (\frac {\pi (1+T)}{2+3T}\right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and the only extremizer of the Koebe problem is the trinomial <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row upper B Superscript left-parenthesis upper T right-parenthesis Baseline left-parenthesis z right-parenthesis equals z plus StartFraction 2 Over 2 plus 3 upper T EndFraction left-parenthesis negative upper T plus left-parenthesis 2 plus 2 upper T right-parenthesis cosine left-parenthesis StartFraction pi upper T Over 2 plus 3 upper T EndFraction right-parenthesis right-parenthesis z Superscript 1 plus upper T Baseline plus 2nd Row plus StartFraction 1 Over 2 plus 3 upper T EndFraction left-parenthesis 2 plus upper T minus 2 upper T cosine left-parenthesis StartFraction pi upper T Over 2 plus 3 upper T EndFraction right-parenthesis right-parenthesis z Superscript 1 plus 2 upper T Baseline period EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable rowspacing="3pt" columnspacing="1em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>cos</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».