Small mass limit of expected signature for physical Brownian motion
Notice bibliographique
Résumé
Physical Brownian motion describes the dynamics of a Brownian particle experiencing frictional force. It was investigated in the classical work [L. S. Ornstein and G. E. Uhlenbeck, Phys. Rev. 36 (1930)] as a physically meaningful approach to realising the standard ``mathematical'' Brownian motion, via sending the mass $m \to 0^+$ and performing natural scaling. The analysis was extended to a Brownian particle in an external magnetic field in [P. Friz, P. Gassiat, and T. Lyons, Trans. Amer. Math. Soc. 367 (2015)], discovering the new phenomenon that the area process associated to the physical process converges -- but not to Lévy's stochastic area. In this paper, we carry out the singular limit analysis of a generalised stochastic differential equation (SDE) model encompassing the physical Brownian motion as a special case. We show that the expected signature of the solution $\{P_t\}_{t \geq 0}$ for the generalised SDE converges to a nontrivial tensor as $m \to 0^+$, at each degree in the tensor algebra and on each time interval $[0,T]$, through a delicate convergence analysis based on the graded PDE system for the expected signature of Itô diffusion processes. Moreover, explicit solutions exhibiting intriguing combinatorial patterns are obtained when the coefficient matrix $\mathscr{M}$ in our SDE is diagonalisable. In the case of physical Brownian motion, $\{P_t\}_{t \geq 0}$ corresponds to the momentum of the particle (viewed as a rough path), and $\mathscr{M}$ is the stress tensor. Our work appears among the very first endeavours to study the singular limit of expected signature of diffusion processes, especially for nonzero initial datum $p=P_0$.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,009 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».