Linear maps preserving matrices annihilated by a fixed polynomial
Notice bibliographique
Résumé
Let M n ( F ) be the algebra of n × n matrices over an arbitrary field F . We consider linear maps Φ : M n ( F ) → M r ( F ) preserving matrices annihilated by a fixed polynomial f ( x ) = ( x − a 1 ) ⋯ ( x − a m ) with m ≥ 2 distinct zeroes a 1 , a 2 , … , a m ∈ F ; namely, f ( Φ ( A ) ) = 0 whenever f ( A ) = 0 . Suppose that f ( 0 ) = 0 , and the zero set Z ( f ) = { a 1 , … , a m } is not an additive group. Then Φ assumes the form (†) A ↦ S ( A ⊗ D 1 A t ⊗ D 2 0 s ) S − 1 , for some invertible matrix S ∈ M r ( F ) , invertible diagonal matrices D 1 ∈ M p ( F ) and D 2 ∈ M q ( F ) , where s = r − n p − n q ≥ 0 . The diagonal entries λ in D 1 and D 2 , as well as 0 in the zero matrix 0 s , are zero multipliers of f ( x ) in the sense that λ Z ( f ) ⊆ Z ( f ) . In general, assume that Z ( f ) − a 1 is not an additive group. If Φ ( I n ) commutes with Φ ( A ) for all A ∈ M n ( F ) , or if f ( x ) has a unique zero multiplier λ = 1 , then Φ assumes the form (†) . The above assertions follow from the special case when f ( x ) = x ( x − 1 ) = x 2 − x , for which the problem reduces to the study of linear idempotent preservers. It is shown that a linear map Φ : M n ( F ) → M r ( F ) sending disjoint rank one idempotents to disjoint idempotents always assume the above form (†) with D 1 = I p and D 2 = I q , unless M n ( F ) = M 2 ( Z 2 ) .
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».