Block perturbation of symplectic matrices in Williamson’s theorem
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Williamson’s theorem states that for any $2n \times 2n$ real positive definite matrix A , there exists a $2n \times 2n$ real symplectic matrix S such that $S^TAS=D \oplus D$ , where D is an $n\times n$ diagonal matrix with positive diagonal entries known as the symplectic eigenvalues of A . Let H be any $2n \times 2n$ real symmetric matrix such that the perturbed matrix $A+H$ is also positive definite. In this paper, we show that any symplectic matrix $\tilde {S}$ diagonalizing $A+H$ in Williamson’s theorem is of the form $\tilde {S}=S Q+\mathcal {O}(\|H\|)$ , where Q is a $2n \times 2n$ real symplectic as well as orthogonal matrix. Moreover, Q is in symplectic block diagonal form with the block sizes given by twice the multiplicities of the symplectic eigenvalues of A . Consequently, we show that $\tilde {S}$ and S can be chosen so that $\|\tilde {S}-S\|=\mathcal {O}(\|H\|)$ . Our results hold even if A has repeated symplectic eigenvalues. This generalizes the stability result of symplectic matrices for non-repeated symplectic eigenvalues given by Idel, Gaona, and Wolf [ Linear Algebra Appl., 525:45–58, 2017 ].
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,004 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle