Notice bibliographique
Résumé
James Maynard has taken the analytic number theory world by storm in the last decade, proving several important and surprising theorems, resolving questions that had seemed far out of reach. He is perhaps best known for his work on small and large gaps between primes (which were discussed, hot off the press, in our 2015 <italic>Bulletin of the AMS</italic> article). In this article we will discuss two other Maynard breakthroughs: — Mersenne numbers take the form <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 Superscript n Baseline minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2^n-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and so appear as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="111 ellipsis 111"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>111</mml:mn> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mn>111</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">111\dots 111</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in base 2, having no digit “ <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0"> <mml:semantics> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> ”. It is a famous conjecture that there are infinitely many such primes. More generally it was, until Maynard’s work, an open question as to whether there are infinitely many primes that miss any given digit, in any given base. We will discuss Maynard’s beautiful ideas that went into his 2019 partial resolution of this question. — In 1926, Khinchin gave remarkable conditions for when real numbers can usually be “well approximated” by infinitely many rationals. However Khinchin’s theorem regarded 1/2, 2/4, 3/6 as distinct rationals and so could not be easily modified to cope, say, with approximations by fractions with prime denominators. In 1941 Duffin and Schaeffer proposed an appropriate but significantly more general analogy involving approximation only by reduced fractions (which is much more useful). We will discuss its 2020 resolution by Maynard and Dimitris Koukoulopoulos.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».