Nested radicals obtained via the Wilf--Zeilberger method and related results
Notice bibliographique
Résumé
We apply the Maple implementation of the Wilf--Zeilberger method to prove an acceleration formula for a family of ₃F₂(1)-series with three free parameters, so as to accelerate the convergence rate from 1 to ¼ for such series. We apply our series transform to determine new, fast-converging, rational, hypergeometric series for constants of the form √{2 ± √{2 + √{2 + ⋯ √{2}}}}, which are of significance in classical geometry. Our series of convergence rate ¼ closely resemble Ramanujan's series for 1/π of the same convergence rate. Our acceleration for the family of ₃F₂(1)-series considered in this article is based on a WZ pair generated by Maple and associated with a special case of Gauss's ₂F₁(1)-identity; a corresponding case of Dixon's ₃F₂(1)-identity may be used to further demonstrate the applicability of our telescoping-based approach to series acceleration, via the new series for π, π², Apéry's constant ζ(3), and ∛2 that we introduce.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».