Finer-Grained Reductions in Fine-Grained Hardness of Approximation
Notice bibliographique
Résumé
We investigate the relation between $δ$ and $ε$ required for obtaining a $(1+δ)$-approximation in time $N^{2-ε}$ for closest pair problems under various distance metrics, and for other related problems in fine-grained complexity. Specifically, our main result shows that if it is impossible to (exactly) solve the (bichromatic) inner product (IP) problem for vectors of dimension $c \log N$ in time $N^{2-ε}$, then there is no $(1+δ)$-approximation algorithm for (bichromatic) Euclidean Closest Pair running in time $N^{2-2ε}$, where $δ\approx (ε/c)^2$ (where $\approx$ hides $\polylog$ factors). This improves on the prior result due to Chen and Williams (SODA 2019) which gave a smaller polynomial dependence of $δ$ on $ε$, on the order of $δ\approx (ε/c)^6$. Our result implies in turn that no $(1+δ)$-approximation algorithm exists for Euclidean closest pair for $δ\approx ε^4$, unless an algorithmic improvement for IP is obtained. This in turn is very close to the approximation guarantee of $δ\approx ε^3$ for Euclidean closest pair, given by the best known algorithm of Almam, Chan, and Williams (FOCS 2016). By known reductions, a similar result follows for a host of other related problems in fine-grained hardness of approximation. Our reduction combines the hardness of approximation framework of Chen and Williams, together with an MA communication protocol for IP over a small alphabet, that is inspired by the MA protocol of Chen (Theory of Computing, 2020).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,030 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,003 | 0,005 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,005 |
| Communication savante | 0,005 | 0,017 |
| Science ouverte | 0,006 | 0,009 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,010 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,017 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».