CHAPTER SIX: MANDELBROT POLYNOMIALS AND MATRICES
Notice bibliographique
Résumé
6.1 A note to the student/readerThis chapter uses some ideas of the late Benoit Mandelbrot186 and some known facts about the Mandelbrot set, together with some of our own ideas, to help you to learn the following:1.A bit more Python programming, including more practice with the use of numerical libraries from NumPy, iteration and recursion; some new things, such as loop invariants, automatic differentiation, and symbolic computation; and a bit more about graphics.2.A bit more about polynomials: the cubic formula (we won't need the quartic formula, and even our use of the cubic formula is a bit contrived, but we think it's fun), the cost of numerical solution of polynomials (we will point you to the current numerical champion polynomial solver, MPSolve187), and the rather necessary to know notions of numerical stability and conditioning. Most of these topics are not taught as thoroughly as they should be in a first numerical analysis course, so this material should strengthen the results when you do encounter them.3.The surprising use of eigenvalues to find roots of polynomials. The first treatment of eigenvalues (typically in a linear algebra course, even though the problem is not, strictly speaking, linear) usually runs the other way around and defines the eigenvalues of a matrix in terms of the characteristic polynomial of the matrix. Indeed, we will teach you a concept not in the textbooks, namely the concept of a minimal-height companion matrix, and we will show you one such for the Mandelbrot polynomials.4.A bit more about dynamical systems, especially about iteration and composition.5.An excellent approximate formula for the largest-magnitude root of the Mandelbrot polynomial.6.An honest-to-goodness analytic solution to the Mandelbrot iteration (this is a very new result, published only in 2021), valid for all c outside the Mandelbrot set.7.That we don't know everything about Mandelbrot polynomials and matrices, and that you might be able to answer some open questions.186https://en.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot187https://en.wikipedia.org/wiki/MPSolve
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,004 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,054 | 0,022 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».