Notice bibliographique
Résumé
Let $d(n)$ denote the number of divisors of $n$. Erd{\H{o}}s, in 1968, proved the remarkable result whereby there exists a positive constant $ d_{2} < \infty$ such that $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sum_{n \leq x} d(d(n))}{x \log \log x} = d_{2}, $$ and this was improved by Rieger in 1972. If we compare the above result to Ramanujan's formula for $ \prod_{n=1}^{x} d(n)$ and its relation to the Dirichlet formula for $\sum_{n = 1}^{x} d(n)$, this raises questions as to the behaviour of products of the form $\prod_{n=1}^{x} d(d(n))$. By the AM-GM inequality, Erd{\H{o}}s' result gives us that $$ \frac{\left( \prod_{n=1}^{x} d(d(n)) \right)^{\frac{1}{x}}}{\log \log x} $$ is bounded above by a positive, finite constant, but this does not give that the limit of the above expression exists as a positive constant, and known bounds for expressions such as $d(n)$ and $\log d(d(n))$ cannot be used in any direct way. Moreover, as we discuss, it seems that Erd{\H{o}}s' and Rieger's summation techniques cannot be altered so as to be applicable to expressions such as $\sum_{n \leq x} \log d(d(n))$ or $\prod_{n \leq x} d(d(n))$. We prove that: For all $\epsilon > 0$, the bounds $$ \log 2 - \epsilon \leq \frac{\sum_{n \leq x} \log d(d(n)) }{x \log \log \log x} \leq 1 + \epsilon $$ hold for all for sufficiently large $x$, yielding bounds for the product obtained by replacing $d(n)$ with $d(d(n))$ in Ramanujan's product.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,008 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».