Notice bibliographique
Résumé
Let $d(n)$ denote the number of divisors of $n$. Erd{\H{o}}s, in 1968, proved the remarkable result whereby there exists a positive constant $ d_{2} < \infty$ such that $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sum_{n \leq x} d(d(n))}{x \log \log x} = d_{2}, $$ and this was improved by Rieger in 1972. If we compare the above result to Ramanujan's formula for $ \prod_{n=1}^{x} d(n)$ and its relation to the Dirichlet formula for $\sum_{n = 1}^{x} d(n)$, this raises questions as to the behaviour of products of the form $\prod_{n=1}^{x} d(d(n))$. By the AM-GM inequality, Erd{\H{o}}s' result gives us that $$ \frac{\left( \prod_{n=1}^{x} d(d(n)) \right)^{\frac{1}{x}}}{\log \log x} $$ is bounded above by a positive, finite constant, but this does not give that the limit of the above expression exists as a positive constant, and known bounds for expressions such as $d(n)$ and $\log d(d(n))$ cannot be used in any direct way. Moreover, as we discuss, it seems that Erd{\H{o}}s' and Rieger's summation techniques cannot be altered so as to be applicable to expressions such as $\sum_{n \leq x} \log d(d(n))$ or $\prod_{n \leq x} d(d(n))$. We prove that: For all $\epsilon > 0$, the bounds $$ \log 2 - \epsilon \leq \frac{\sum_{n \leq x} \log d(d(n)) }{x \log \log \log x} \leq 1 + \epsilon $$ hold for all for sufficiently large $x$, yielding bounds for the product obtained by replacing $d(n)$ with $d(d(n))$ in Ramanujan's product.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,004 |
| Communication savante | 0,004 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,012 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».