Counting invariant curves: A theory of Gopakumar–Vafa invariants \n for Calabi–Yau threefolds with an involution
Notice bibliographique
Résumé
We develop a theory of Gopakumar-Vafa (GV) invariants for a Calabi-Yau threefold (CY3) X which is equipped with an involution preserving the holomorphic volume form.We define integers n g,h () which give a virtual count of the number of genus g curves C on X, in the class H 2 (X), which are invariant under , and whose quotient C/ has genus h.We give two definitions of n g,h () which we conjecture to be equivalent: one in terms of a version of Pandharipande-Thomas theory and one in terms of a version of Maulik-Toda theory.We compute our invariants and give evidence for our conjecture in several cases.In particular, we compute our invariants when X = S C, where S is an Abelian surface with (a) = -a or a K3 surface with a symplectic involution (a Nikulin K3 surface).For these cases, we give formulas for our invariants in terms of Jacobi modular forms. Ordinary GV invariantsLet X be a Calabi-Yau threefold (CY3), by which we mean a smooth quasi-projective variety over C of dimension 3 with K X = O X .In 1998 [GV98], Gopakumar and Vafa (GV) defined via physics integer invariants n g () which give a virtual count of curves C X of genus g and classMathematically, there are two conjecturally equivalent sheaf-theoretic approaches to defining n g (), one by Pandharipande and Thomas (PT) via their stable pair invariants [PT10], and one more recently given by Maulik and Toda (MT) using perverse sheaves [MTo18].We begin by reviewing ordinary GV theory, and then we develop in a parallel fashion a theory of GV invariants for CY3s with an involution. GV invariants via PT theoryLet PT ,n (X) be the moduli space of PT pairs [PT09]: PT ,n (X) = (F, s) : s H 0 (X, F ), [supp(F )] = , (F ) = n ,
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».