Subcritical Gaussian multiplicative chaos in the Wiener space: construction, moments and volume decay
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We construct and study properties of an infinite dimensional analog of Kahane’s theory of Gaussian multiplicative chaos (Kahane in Ann Sci Math Quebec 9(2):105-150, 1985). Namely, if $$H_T(\omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a random field defined w.r.t. space-time white noise $$\dot{B}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> and integrated w.r.t. Brownian paths in $$d\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we consider the renormalized exponential $$\mu _{\gamma ,T}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , weighted w.r.t. the Wiener measure $$\mathbb {P}_0(\textrm{d}\omega )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We construct the almost sure limit $$\mu _\gamma = \lim _{T\rightarrow \infty } \mu _{\gamma ,T}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> in the entire weak disorder (subcritical) regime and call it subcritical GMC on the Wiener space . We show that $$\begin{aligned} \mu _\gamma \Big \{\omega : \lim _{T\rightarrow \infty } \frac{H_T(\omega )}{T(\phi \star \phi )(0)} \ne \gamma \Big \}=0 \qquad \text{ almost } \text{ surely, } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>⋆</mml:mo> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>almost</mml:mtext> <mml:mspace /> <mml:mspace /> <mml:mtext>surely,</mml:mtext> <mml:mspace /> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> meaning that $$\mu _\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is supported almost surely only on $$\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:math> - thick paths , and consequently, the normalized version is singular w.r.t. the Wiener measure. We then characterize uniquely the limit $$\mu _\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> w.r.t. the mollification scheme $$\phi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ϕ</mml:mi> </mml:math> in the sense of Shamov (J Funct Anal 270:3224–3261, 2016) – we show that the law of $$\dot{B}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> under the random rooted measure $$\mathbb Q_{\mu _\gamma }(\textrm{d}\dot{B}\textrm{d}\omega )= \mu _\gamma (\textrm{d}\omega ,\dot{B})P(\textrm{d}\dot{B})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>ω</mml:mi>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».