Multivalued Complex Functions, Branch Cuts, and Riemann Surfaces
Notice bibliographique
Résumé
After reading this appendix 1 you should be able to:• Understand concepts of complex valued multi-functions, branch cuts, and branch points • Represent complex valued multi-functions as the Riemann surface • View the Riemann surface corresponding to a multi-function as a uniquely defined object in multi-dimensional space• Understand how to preserve analyticity of a complex valued multifunction on a path crossing its branch cut. A.1 Multivalued Complex Functions, Branches, Branch Points, and Branch CutsWhat we commonly term as a complex valued function f (z) ∈ ℂ of complex variable z ∈ ℂ is a one-to-one mapping between complex values z ∈ ℂ and complex values 𝑤 ∈ ℂ defined as the solutions of equation 𝑤 = f (z), e.g.𝑤 = z 5 + 5. Mappingfrom complex-valued number z to complex-valued number 𝑤 is not such a ≪function≫ but rather a multifunction or multi-valued function as it produces two values of 𝑤 for each value of z, i.e. one value for n = 0 (referred to as the principle value of the square-root) and one for n = 1. 2 For a multifunction it is common to associate each of its distinct values with a branch.As such for two-valued function 𝑤 = √ z two branches for the two of its values, i.e. 𝑤 br.1 (z) and 𝑤 br.2 (z) corresponding to the cases n = 0 and n = 1, respectively, are introduced.Each of the branches of a multifunction is an analytic function everywhere on complex plane z except for a curve, at which the branches lose their analyticity.Such curve for a given multifunction is called the branch cut.The branch cut for a given multifunction is not uniquely defined and is subject to convention.For example, if for multifunction 𝑤 = √ z in Eq. (A.1) we define the argu-1 We recommend the reader to watch 'Imaginary Numbers are Real' videos by Welch Labs (https://youtu.be/ T647CGsuOVU?si=hRUA66Unc9lg86Fh)prior to reading this appendix to better understand presented concepts 2 Note other cases n = 2, 3, … are irrelevant since values of 𝑤 for them repeat those for n = 0 and n = 1.Theory and Computation of Electromagnetic Fields in Layered Media, First Edition.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,003 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,041 | 0,005 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».