Peregrination Through Blackbox Optimization: Multimodality, Stochasticity and Risk Aversion

Pour aborder l’optimisation de boite noire, ce projet doctoral comporte trois contributions, dont la conception est agencée autour d'une unique notion: l'exploration Gaussienne de l'espace. Cette exploration consiste à échantillonner des points à partir d'une moyenne et d'un écart-type donnés. Dans une approche directe, l'algorithme se déplace directement vers un point minimisant une certaine quantité d'intérêt dépendant de la fonction objectif et/ou des contraintes. Dans une approche indirecte, les points échantillonnés sont utilisés pour estimer le gradient d'une approximation lisse de la boite noire. Ces deux approches ont pour avantage de ne pas dépendre de la dimension de la boite noire et de ne se fonder que sur les valeurs des fonctions retournées par celle-ci. Elles s'adaptent donc parfaitement au contexte de l'optimisation de boite noire. L'objectif de cette thèse est donc de développer des algorithmes autour de ces approches et d'étudier leurs propriétés de convergence ainsi que leurs efficacités en pratique.Le premier projet de la thèse traite de la problématique de la multimodalité dans un cadre de boite noire déterministe. La méthode de l'entropie croisée (CE) est intégrée dans l'algorithme de recherche directe par treillis adaptatif en tant qu'étape de recherche. Cette étape a pour but d'explorer l'espace des variables de conceptions et d'éviter de converger prématurément vers un minimum local. L'algorithme résultant bénéficie des propriétés de convergence de l'algorithme MADS. Des comparaisons numériques ont été menées avec d'autres algorithmes sur un ensemble de problèmes multimodaux et sur des problèmes d'ingénierie. Les résultats permettent de démontrer la compétitivité de l'algorithme sur ces types de problèmes.Le second projet de thèse aborde les problèmes d'optimisation stochastique de boite noire sans contrainte. Dans ce projet, un algorithme séquentiel (SSO) est développé afin de résoudre une suite d'approximations lisses de plus en plus fines du problème original.Chaque sous problème est résolu grâce à un algorithme de descente de gradient stochastique, appelé ZO-Signum, où les gradients sont estimés à partir d'évaluation de la boite noire seulement et dont la direction de descente est déterminée par le signe d'un vecteur moment. Les propriétés de convergence des deux algorithmes ont été étudiées. Si la boite noire est supposée lisse et est localement convexe autour de ses minima locaux, alors nous avons démontré le taux de convergence d'une sous suite d'itérés de l'algorithme SSO vers un point stationnaire du problème. Finalement, des tests numériques ont été réalisés sur une simulation de centrale solaire et pour la génération d'images adverses. Ils montrent l'efficacité de l'algorithme comparé à d'autres algorithmes de la littérature.Le troisième projet de thèse traite des problèmes d'optimisation de boite noire sous contraintes et soumis à des incertitudes aléatoires et épistémiques. La valeur conditionnelle au risque (CVaR) est utilisée pour gérer les incertitudes dans la fonction objectif et les contraintes. Cette formulation a l'avantage de pouvoir choisir le degré de fiabilité et de traiter les incertitudes épistémiques avec une approche du pire cas lorsque ce degré est pris suffisamment proche de 1. Pour résoudre la relaxation Lagrangienne du problème CVaR-contraint, un algorithme d'approximation stochastique à multi-échelle de temps (RAMSA) est développé. Nous avons prouvé que l'algorithme RAMSA converge presque-sûrement vers un point réalisable du problème CVaR-contraint dont la valeur de la fonction objectif est arbitrairement proche de celle d'une solution locale. Enfin, des tests numériques ont été réalisés avec les buts suivants: établir des stratégies permettant de déterminer la valeur des hyperparamètres de l'algorithme, comparer différents estimateurs du gradient et montrer l'efficacité de l'algorithme sur des problèmes soumis à des incertitudes aléatoires et epistémiques.

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