Multilevel Monte Carlo Methods for Stochastic Convection–Diffusion Eigenvalue Problems
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Notice bibliographique
Résumé
We develop new multilevel Monte Carlo (MLMC) methods to estimate the expectation of the smallest eigenvalue of a stochastic convection-diffusion operator with random coefficients. The MLMC method is based on a sequence of finite element (FE) discretizations of the eigenvalue problem on a hierarchy of increasingly finer meshes. For the discretized, algebraic eigenproblems we use both the Rayleigh quotient (RQ) iteration and implicitly restarted Arnoldi (IRA), providing an analysis of the cost in each case. By studying the variance on each level and adapting classical FE error bounds to the stochastic setting, we are able to bound the total error of our MLMC estimator and provide a complexity analysis. As expected, the complexity bound for our MLMC estimator is superior to plain Monte Carlo. To improve the efficiency of the MLMC further, we exploit the hierarchy of meshes and use coarser approximations as starting values for the eigensolvers on finer ones. To improve the stability of the MLMC method for convection-dominated problems, we employ two additional strategies. First, we consider the streamline upwind Petrov-Galerkin formulation of the discrete eigenvalue problem, which allows us to start the MLMC method on coarser meshes than is possible with standard FEs. Second, we apply a homotopy method to add stability to the eigensolver for each sample. Finally, we present a multilevel quasi-Monte Carlo method that replaces Monte Carlo with a quasi-Monte Carlo (QMC) rule on each level. Due to the faster convergence of QMC, this improves the overall complexity. We provide detailed numerical results comparing our different strategies to demonstrate the practical feasibility of the MLMC method in different use cases. The results support our complexity analysis and further demonstrate the superiority over plain Monte Carlo in all cases.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle