Relaxations and Exact Solutions to Quantum Max Cut via the Algebraic Structure of Swap Operators
Notice bibliographique
Résumé
The Quantum Max Cut (QMC) problem has emerged as a test-problem for designing approximation algorithms for local Hamiltonian problems. In this paper we attack this problem using the algebraic structure of QMC, in particular the relationship between the quantum max cut Hamiltonian and the representation theory of the symmetric group.The first major contribution of this paper is an extension of non-commutative Sum of Squares (ncSoS) optimization techniques to give a new hierarchy of relaxations to Quantum Max Cut. The hierarchy we present is based on optimizations over polynomials in the qubit swap operators. This is in contrast to the "standard" quantum Lasserre Hierarchy, which is based on polynomials expressed in terms of the Pauli matrices. To prove correctness of this hierarchy, we exploit a finite presentation of the algebra generated by the qubit swap operators. This presentation allows for the use of computer algebraic techniques to manipulate and simplify polynomials written in terms of the swap operators, and may be of independent interest. Surprisingly, we find that level-2 of this new hierarchy is numerically exact (up to tolerance <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mn>10</mml:mn><mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mn>7</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:math>) on all QMC instances with uniform edge weights on graphs with at most 8 vertices.The second major contribution of this paper is a polynomial-time algorithm that computes (in exact arithmetic) the maximum eigenvalue of the QMC Hamiltonian for certain graphs, including graphs that can be "decomposed" as a signed combination of cliques. A special case of the latter are complete bipartite graphs with uniform edge-weights, for which exact solutions are known from the work of Lieb and Mattis \cite{lieb1962ordering}. Our methods, which use representation theory of the symmetric group, can be seen as a generalization of the Lieb-Mattis result.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».