Construction of a Dirichlet form on Metric Measure Spaces of Controlled Geometry
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Given a compact doubling metric measure space X that supports a 2-Poincaré inequality, we construct a Dirichlet form on $$N^{1,2}(X)$$ N 1 , 2 ( X ) that is comparable to the upper gradient energy form on $$N^{1,2}(X)$$ N 1 , 2 ( X ) . Our approach is based on the approximation of X by a family of graphs that is doubling and supports a 2-Poincaré inequality (see [20]). We construct a bilinear form on $$N^{1,2}(X)$$ N 1 , 2 ( X ) using the Dirichlet form on the graph. We show that the $$\Gamma $$ Γ -limit $$\mathcal {E}$$ E of this family of bilinear forms (by taking a subsequence) exists and that $$\mathcal {E}$$ E is a Dirichlet form on X. Properties of $$\mathcal {E}$$ E are established. Moreover, we prove that $$\mathcal {E}$$ E has the property of matching boundary values on a domain $$\Omega \subseteq X$$ Ω ⊆ X . This construction makes it possible to approximate harmonic functions (with respect to the Dirichlet form $$\mathcal {E}$$ E ) on a domain in X with a prescribed Lipschitz boundary data via a numerical scheme dictated by the approximating Dirichlet forms, which are discrete objects.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».