Tightening Poincaré–Bendixson theory after counting separately the fixed points on the boundary and interior of a planar region
Notice bibliographique
Résumé
This paper tightens the classical Poincaré–Bendixson theory for a positively invariant, simply-connected compact set M in a continuously differentiable planar vector field by further characterizing for any point p ∈ M , the composition of the limit sets ω ( p ) and α ( p ) after counting separately the fixed points on M 's boundary and interior. In particular, when M contains finitely many boundary but no interior fixed points, ω ( p ) contains only a single fixed point, and when M may have infinitely many boundary but no interior fixed points, ω ( p ) can, in addition, be a continuum of fixed points. When M contains only one interior and finitely many boundary fixed points, ω ( p ) or α ( p ) contains exclusively a fixed point, a closed orbit or the union of the interior fixed point and homoclinic orbits joining it to itself. When M contains in general a finite number of fixed points and neither ω ( p ) nor α ( p ) is a closed orbit or contains just a fixed point, at least one of ω ( p ) and α ( p ) excludes all boundary fixed points and consists only of a number of the interior fixed points and orbits connecting them.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».