Phase transition for random walks on graphs with added weighted random matching
Notice bibliographique
Résumé
Abstract For a finite graph $$G=(V,E)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> let $$G^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> be obtained by considering a random perfect matching of V and adding the corresponding edges to G with weight $$\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:math> , while assigning weight 1 to the original edges of G . We consider whether for a sequence $$(G_n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of graphs with bounded degrees and corresponding weights $$(\varepsilon _n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , the (weighted) random walk on $$(G_n^*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> has cutoff. For graphs with polynomial growth we show that $$\log \left( \frac{1}{\varepsilon _n}\right) \ll \log |V_n|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is a sufficient condition for cutoff. Under the additional assumption of vertex-transitivity we establish that this condition is also necessary. For graphs where the entropy of the simple random walk grows linearly up to some time of order $$\log |V_n|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> we show that $$\frac{1}{\varepsilon _n}\ll \log |V_n|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>≪</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is sufficient for cutoff. In the special case of expander graphs we also provide a complete picture for the complementary regime $$\frac{1}{\varepsilon _n}\gtrsim \log |V_n|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfrac> <mml:mo>≳</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> .
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».